23 Eylül 2010 Perşembe

bölme işlemi, bölünebilme kuralları, obeb konu anlatım, okek konu anlatım

BÖLME İŞLEMİ
 
Her bölme işlemi
 
şeklindedir.
 
Bölünen = Bölen x Bölüm + Kalan eşitliği vardır.
Yukarıdaki bölme işleminde
A = B.C + K ve K < B dir.
K = O ise A ; B ye tam bölünür denir.
 
Örnek
Yukarıdaki bölme işlemine göre, A�nın alabileceği en büyük değeri kaçtır?
A) 22        B) 45       C) 54       D) 68       E) 72
 
Çözüm
Kalan daima bölenden küçük olacağı için 2x - 1 < 7 olmalıdır. Bu durumda x in en büyük değeri 3 olur.
A = 7.3x + (2x - 1) ise A = 7.9 + 5 = 68 olur. Cevap: D'dir.
 
 
BÖLÜNEBİLME KURALLARI
 
2 İle Bölünebilme
 
Birler basamağı çift olan doğal sayılar 2 ile tam bölünür.
 
Örnek
 
18, 1984, 536, gibi sayılar 2 ile tam bölünür.
 
Birler basamağı tek olan sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.
 
Örnek
 
397, 95, 1999 gibi sayılar tek olduğu için 2 ile bölümünden kalan 1 dir.
 
 
3 İle Bölünebilme
 
Rakamları toplamı 3'ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.
 
Örnek
 
583428 sayısı 3 e tam bölünür. Çünkü bu sayının rakamları toplamı 5 + 8 + 3 + 4 + 2 + 8 = 30 dur.
 
30 ise, 3 ün 10 katıdır.
 
Bir sayının 3 e bölümünden kalan, o sayının rakamları toplamının 3 e bölümünden kalana eşittir.
 
Örnek
 
4729532 sayısının 3 ile bölümünden kalanı bulalım: 4 + 7 + 2 + 9 + 5 + 3 + 2 = 32 olur. 32 nin 3 e bölümünden kalan 2 dir.
 
Dolayısıyla 4729532 sayısının da 3 ile bölümünden kalan 2 olur.
 
 
4 İle Bölünebilme
 
Son iki basamakta bulunan sayının 4 ün katı olması gerekir.
 
Örnek
 
1200, 22352, 1412 ; 4 ile tam bölünür.
 
Bir sayının 4 ile bölümünden kalan ise,  son iki basamağın 4 e bölümünden kalana eşittir.
 
Örnek
 
63874 sayısının 4 ile bölümünden kalanı bulalım:
 
Son iki basamağı, yani 74'ü 4'e bölersek kalan 2 olacağından 63874 sayısının da 4 ile bölümünden kalan 2 olur.
 
 
5 İle Bölünebilme
 
Birler basamağında O veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.
 
Örnek
 
1990, 1005, 320, 500 gibi sayılar 5 ile tam bölünür.
 
Bir sayının 5 e bölümünden kalan bu sayının birler basamağındaki rakamın 5 e bölümünden kalana eşittir.
 
Örnek
 
12798 sayısının 5 ile bölümünden kalan: 8 sayısının 5 e bölümünden kalan 3 olduğundan 12798 sayısının da 5 e bölümden kalan 3 tür.
 
 
6 İle Bölünebilme
 
Bir doğal sayı hem 2 ye hem de 3 e tam olarak bölünürse 6 ya tam bölünür.
 
Örnek
 
46722, 816, 1512 sayıları 2 ve 3 e tam bölündüğü için 6 ile de tam bölünür.
 
 
8 İle Bölünebilme
 
Son üç basamakta bulunan sayının 8 in katı olması gerekir.
 
Örnek
 
23000, 452562016; 8 ile tam bölünür.
 
Bir sayının 8 ile bölümünden kalan ise son üç basamağın 8 ile bölümünden kalandır.
 
 
Örnek
 
1035213 sayısının 8 ile bölümünden kalan:
olduğundan kalan 5 olur.
 
 
9 İle Bölünebilme
 
Rakamları toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.
 
Örnek
 
35172 sayısı 9 ile tam bölünür. Çünkü 3+ 5 + 1 +7 + 2 = 18dir. 18 ise 9 un 2 katıdır.
 
Bir sayının 9 a bölümünden kalan o sayının rakamları toplamının 9 a bölümünden kalana eşittir.
 
Örnek
 
284617821 sayısının 9 a bölümünden kalanı bulmak için önce rakamlarını toplayalım.
 
2 + 8 + 4 + 6 + 1+7 + 8 + 2 + 1= 39 bulunur ve 39�unda 9 a bölümünden kalan 3 tür. O halde  bu sayının da 9 a bölümünden kalan 3 tür.
 
 
10 İle Bölünebilme
 
Birler basamağındaki rakamı sıfır olan her sayı 10 ile tam bölünür.
 
Örnek
 
580, 7200, 1350 ... gibi sayılar 10 ile tam bolünü
 
Bir sayının 10a bölümünden kalan, o sayının birli basamağındaki rakama eşittir.
 
Örnek
 
5397 sayısının 10 ile bölümünden kalan 7 dir. 1999 sayısının 10 ile bölümünden kalan 9 dur.
 
11 ile bölünebilme
 
Sayının rakamları soldan başlayarak birer atlayarak toplanır. Sonra toplanmayanlar toplanır. Bu iki toplam arasındaki fark 11'in katı ise tam bölünür.
(2+ 8 + 6 +8)-(1 +7 +5) = 24-13 = 11 olduğunda 2187658 sayısı 11 ile tam bölünür.
 
NOT: Bir sayı aralarında asal iki sayı ile ayrı ayrı tam bölünürse, bunların çarpımları ile de tam olarak bölünür.
  gibi
 
Örnek
1a4b sayısı 15 ile tam bölünen tek bir sayı ise an alacağı değerler toplamı kaçtır?
 
Çözüm
Bir sayının 15 ile tam bölünebilmesi için aralarını asal çarpanları 3 ve 5 ile tam bölünmesi gerekir.
5 ile bölünmesi için b; 0 veya 5 olmalıdır. Sayı tek sayı olduğundan b=5 olur.
1a45 sayısının 3 e tam bölünebilmesi için
1+a + 4 + 5 = 3k(3 ün katı) olmalıdır.
a + 10 = 3k için a = 2, 5, 8 olabilir.
a nın değerleri toplamı ise: 2 + 5 + 8 = 15 olur.
Bir A sayısının X e bölümünden kalan M, başka bir B sayısının X e bölümünden kalan N olsun.
-A . B nin X e bölümünden kalan M . N
-A + B nin X e bölümünden kalan M + N olur.
Eğer M. N ve M + N, X ten küçük değil ise bu değerler X e tekrar bölünerek kalan bulunur.
 
Örnek
Bir A sayısının 18 ile bölümünden kalan 8 ve başka bir B sayısının 18 ile bölümünden kalan 7 ise, A . B sayısının 18 ile bölümünden kalan kaçtır?
 
Çözüm
A sayısının 18 ile bölümünden kalan : 8
B sayısının 18 ile bölümünden kalan : 7
(A . B) nin 18 ile bölümünden kalan : 8.7 = 56
56 nın 18 ile bölümünden kalan : 2 dir.
O halde, A.B nin 18 ile bölümünden kalan 2 dir.
 
 
Asal Çarpanlara Ayırma
 
Bir sayının, en küçük asal sayıdan başlayarak asal sayılara bölünerek 1 kalana kadar devam eden bölme işlemine bu sayıyı asal çarpanlarına ayırma denir.
 
Örnek
120 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
120 = 2 . 3. 5
 
 
Bir Doğal Sayının Tam Bölenleri
 
Bir doğal sayının tam bölenlerini bulmak için önce asal çarpanlarına ayrılır.
 
A sayısı A = ax. by. cz şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış olsun.
 
1. A nın pozitif tamsayı bölenleri sayısı :
 
(x + 1)(y + 1)(z + 1)dir.
 
2. A nın tüm bölenleri sayısı :
 
2(x + 1) (y + 1) (z + 1)
 
3. A nın asal olmayan pozitif bölenleri sayısı:
 
(x + 1)(y + 1)(z + 1)-3
 
4. A nın asal olmayan tüm bölenleri sayısı:
 
2(x + 1)(y+1)(z + 1)-3
 
5. A nın pozitif tamsayı bölenleri toplamı:
 
6. A nın tüm bölenleri toplamı : 0 dır.
 
7. A nın asal olmayan tamsayı bölenleri toplamı -(a + b + c) dir.
 
Örnek
504 sayısını inceleyelim.
Önce sayı asal çarpanlarına ayrılır.
Sayının
 
1)  Pozitif bölenleri sayısı
= (3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 4.3.2=24 tanedir.
 
2) Tüm tamsayı bölenleri sayısı
= 2(3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 2.24 = 48
 
3. Asal olmayan pozitif bölenleri sayısı
= (3 + 1)(2 + 1)(1 +1)-3 = 24-3 = 21
 
4. Asal olmayan tüm bölenleri sayısı
= 2(3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) - 3 = 48 - 3 = 45
 
5. Pozitif bölenleri toplamı
 
6) Tüm tamsayı bölenleri toplamı = 0
 
7) Asal olmayan tamsayı bölenleri toplamı
= -(2+ 3+ 7) =-12
 
 
OBEB, OKEK
 
Ortak Katların En Küçüğü (OKEK)
 
İki ya da daha fazla doğal sayının ortak katı olan doğal sayılardan en küçüğüne, bu sayıların ortak katlarının en küçüğü (OKEK) denir.
 
Ortak Bölenlerin En Büyüğü (OBEB)
 
İki ya da daha fazla doğal sayının her birini tam bölen sayıların en büyüğüne, bu sayıların ortak bölenlerinin en büyüğü (OBEB) denir.
 
Örnek
 
40 ve 180 sayılarının OBEB ve OKEK'ini bulunuz.
 
Çözüm
 
OBEB = yanında (*) işareti bulunan sayıların çarpımı OBEB (40, 180) = 22.5 = 20 OKEK (40, 180) = 23. 32. 5 = 360
 
1) A ve B aralarında asal iki doğal sayı ise OKEK (A, B) = A.B dir.
 
2)  A ve B doğal sayıları için A < B ise OBEB (A, B) < A < B < OKEK (A, B) dir.
 
3) A ve B doğal sayıları için
A. B = OBEB (A, B). OKEK (A, B) dir.
 
4)  Karşımıza çıkan OBEB ve OKEK sorularında küçük parçalardan büyük parçalar oluşturuluyorsa OKEK; büyükten eşit ve küçük parçalar oluşturuluyorsa OBEB kullanılır.
 
Örnek
İki doğal sayının OKEK i 168, OBEB i 7 dir. Bu sayılardan biri 56 ise, diğer sayı kaçtır?
 
Çözüm
Diğer sayı x olsun.
x . 56 = OBEB (56, x) . OKEK (56, x)
x. 56 = 7.168
x = 7.3
x = 21 bulunur.

0 yorum:

Yorum Gönder